6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠BAC = 25°, ∠ACB = 34° и ∠CBD = 46°. Найдите углы четырёхугольника.

Решение:

1. Находим углы треугольника ABC:

• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠ACB)
• ∠ABC = 180° - (25° + 34°)
• ∠ABC = 180° - 59°
• ∠ABC = 121°.

2. Находим углы, опирающиеся на одну дугу:

• Угол ∠BAC и угол ∠BDC опираются на дугу BC, поэтому они равны.
• ∠BDC = ∠BAC = 25°.
• Угол ∠ACB и угол ∠ADB опираются на дугу AB, поэтому они равны.
• ∠ADB = ∠ACB = 34°.
• Угол ∠CAD и угол ∠CBD опираются на дугу CD, поэтому они равны.
• ∠CAD = ∠CBD = 46°.

3. Находим углы четырехугольника ABCD:

• ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB = 46° + 25° = 71°.
• ∠ABC = 121° (найдено ранее).
• ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.
• Нам нужно найти ∠ACD.
• ∠ACD опирается на дугу AD.
• Угол, опирающийся на дугу AD, равен ∠ABD.
• ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 121° - 46° = 75°.
• Значит, ∠ACD = 75°.
• ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 34° + 75° = 109°.
• ∠CDA = ∠CDB + ∠BDA = 25° + 34° = 59°.

Проверка: Сумма углов четырехугольника должна быть 360°.

• 71° + 121° + 109° + 59° = 360°.

Ответ: ∠DAB = 71°, ∠ABC = 121°, ∠BCD = 109°, ∠CDA = 59°.