6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 34°, ∠ABD=45° и ∠BDC=52°. Найдите углы четырёхугольника.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Угол ∠DBC опирается на дугу DC. Следовательно, ∠DAC = ∠DBC = 34°.
• Угол ∠ABD опирается на дугу AD. Следовательно, ∠ACD = ∠ABD = 45°.
• Угол ∠BDC опирается на дугу BC. Следовательно, ∠BAC = ∠BDC = 52°.

Теперь найдем углы четырёхугольника:

• Угол ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 45° + 34° = 79°.
• Угол ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC. Чтобы найти ∠ADB, воспользуемся тем, что ∠ABC + ∠ADC = 180° (свойство вписанного четырехугольника). ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 79° = 101°.
• Угол ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD. Угол ∠BCA опирается на дугу AB. Угол ∠BDA опирается на дугу AB. Но мы не знаем ∠BDA.
• Найдем ∠ADB: В треугольнике BCD: ∠CBD=34°, ∠BDC=52°. Сумма углов треугольника 180°. ∠BCD = 180° - (34° + 52°) = 180° - 86° = 94°.
• Угол ∠BCD = 94°.
• Угол ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 52° + 34° = 86°.

Проверим сумму противоположных углов:

• ∠ABC + ∠ADC = 79° + 101° = 180°.
• ∠BAD + ∠BCD = 86° + 94° = 180°.

Ответ:

Углы четырёхугольника: ∠ABC = 79°, ∠BCD = 94°, ∠ADC = 101°, ∠BAD = 86°.