№6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке K, BK=20, DK=15, BC=12. Найдите AD.

По свойству пересекающихся хорд (или секущих, если рассматривать точки вне окружности, но здесь они внутри), произведение отрезков секущей равно произведению отрезков другой секущей. В данном случае, рассматриваем точки K, B, A и K, C, D.

KB * KA = KC * KD. Также, из подобия треугольников KBC и KAD (углы при вершине K общие, углы CAD и CBD равны как опирающиеся на одну дугу AC), имеем отношение сторон: KB/KD = KC/KA = BC/AD.

KB = 20, BK = 20, BC = 12, DK = 15. Требуется найти AD.

Из подобия треугольников KBC и KAD: KB/KD = BC/AD => 20/15 = 12/AD => AD = (12 * 15) / 20 = 180 / 20 = 9.