Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 6. Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). а) Выразите векторы…Фото задания

Ответ:

Обозначим \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), \(\vec v=\overrightarrow{AD}\), \(\vec w=\overrightarrow{AA_1}\). Для параллелепипеда противоположные рёбра равны и сонаправлены.

а) Складываем векторы вдоль путей между вершинами:

\(\overrightarrow{AC_1}=\vec u+\vec v+\vec w\).

\(\overrightarrow{BD_1}=-\vec u+\vec v+\vec w\).

\(\overrightarrow{CA_1}=-\vec u-\vec v+\vec w\).

\(\overrightarrow{DB_1}=\vec u-\vec v+\vec w\).

б) Обозначим \(\vec X=\overrightarrow{AC_1}\), \(\vec Y=\overrightarrow{BD_1}\), \(\vec Z=\overrightarrow{CA_1}\). Тогда \(\vec X-\vec Y=2\vec u\), откуда \(\vec u=(\vec X-\vec Y)/2\). Также \(\vec X+\vec Z=2\vec w\), поэтому \(\vec w=(\vec X+\vec Z)/2\). Используя \(\overrightarrow{AB_1}=\vec u+\vec w\) и \(\overrightarrow{AD_1}=\vec v+\vec w\), получаем:

\(\overrightarrow{AB_1}=\vec X+\vec Z-\vec Y/2\), то есть \(\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{CA_1}- frac12\overrightarrow{BD_1}\).

\(\overrightarrow{AD_1}=(\vec X+\vec Y)/2\), то есть \(\overrightarrow{AD_1}= frac12(\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{BD_1})\).

\(\overrightarrow{AA_1}=(\vec X+\vec Z)/2\), то есть \(\overrightarrow{AA_1}= frac12(\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{CA_1})\).

в) Обозначим \(\vec P=\overrightarrow{AB_1}=\vec u+\vec w\), \(\vec Q=\overrightarrow{AD_1}=\vec v+\vec w\), \(\vec R=\overrightarrow{AC_1}=\vec u+\vec v+\vec w\). Тогда \(\vec u=\vec R-\vec Q\), \(\vec v=\vec R-\vec P\), \(\vec w=\vec P+\vec Q-\vec R\). Поэтому:

\(\overrightarrow{AC}=2\vec R-\vec P-\vec Q=2\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{AD_1}\).

\(\overrightarrow{AD}=\vec R-\vec P=\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{AB_1}\).

\(\overrightarrow{AA_1}=\vec P+\vec Q-\vec R=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{AD_1}-\overrightarrow{AC_1}\).