6) Дан прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, высота CH = 6 см, HB − AH = 5 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Обозначим \(AH=x\), \(HB=y\). Для высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, выполняется \(AH\cdot HB=CH^2\). Значит, \(xy=36\), а по условию \(y-x=5\).

Подставим \(y=x+5\):

\(x(x+5)=36\), откуда \(x^2+5x-36=0\). Положительный корень — \(x=4\), поэтому \(y=9\).

Гипотенуза \(AB=AH+HB=13\) см. Площадь:

\(S=\dfrac{AB\cdot CH}{2}=\dfrac{13\cdot6}{2}=39\) см².

Ответ: 39 см².