6) Дано: α ∥ β, AB/A₁B₁ = 1/2. Найти: SΔABO/SΔA₁B₁O.

Так как α ∥ β, отрезки AB и A₁B₁ параллельны. Углы при вершине O вертикальные, а соответствующие углы при параллельных AB и A₁B₁ равны. Поэтому ΔABO ∼ ΔA₁B₁O.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta A_1B_1O}}=\left(\frac{AB}{A_1B_1}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.\]

Ответ: \(\frac{1}{4}\).