6. Дано: на рисунке M, N, P и K — середины сторон четырёхугольника ABCD. Доказать: MNPK — параллелограмм.

Проведём диагональ AC. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC, поэтому по теореме о средней линии MN ∥ AC.

В треугольнике ADC точки K и P — середины сторон AD и DC, поэтому KP ∥ AC. Следовательно, MN ∥ KP.

Проведём диагональ BD. В треугольнике ABD точки M и K — середины сторон AB и AD, поэтому MK ∥ BD. В треугольнике BCD точки N и P — середины сторон BC и CD, поэтому NP ∥ BD. Следовательно, MK ∥ NP.

У четырёхугольника MNPK обе пары противоположных сторон параллельны, значит, MNPK — параллелограмм.