6. Даны точки A и B, расстояние AB = 4 см. Найди с помощью циркуля все точки P, для которых PA = PB = 3 см. Сколько таких точек? Объясни, почему других нет.

Проведём окружности радиусом 3 см с центрами A и B. Искомые точки должны лежать одновременно на обеих окружностях, поэтому это точки их пересечения.

1. Расстояние между центрами окружностей равно 4 см, а сумма радиусов — 6 см. Так как 4 < 6, окружности пересекаются в двух точках.
2. Каждая точка пересечения находится на расстоянии 3 см и от A, и от B, поэтому обе точки подходят.
3. Других точек нет: любая точка, удалённая от A и B на 3 см, обязана лежать на обеих окружностях, а других пересечений у них нет.

Для проверки построения можно найти расстояние от середины AB до точки пересечения: половина AB равна 2 см, поэтому высота равна \(\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\) см.

Ответ: две точки — P₁ и P₂.