№6. Даны векторы а, Б и с. Постройте следующие вектора: a+b, c+a-b, 3c+2a-b.

Привет! Давай разберемся, как построить эти векторы. Нам даны три вектора: \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Будем строить их по очереди, используя правила сложения и вычитания векторов.

1. Вектор \(\vec{a} + \vec{b}\):

• Правило: Чтобы сложить два вектора, можно использовать правило треугольника или параллелограмма. Давай используем правило треугольника: рисуем \(\vec{a}\), а от его конца — \(\vec{b}\). Сумма — это вектор, идущий от начала \(\vec{a}\) к концу \(\vec{b}\).
• Построение: Посмотри на рисунок. Вектор \(\vec{a}\) идет на 4 клетки вправо и 2 клетки вверх. Вектор \(\vec{b}\) идет на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз. От конца \(\vec{a}\) рисуем \(\vec{b}\). Итоговый вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) будет идти от начала \(\vec{a}\) к концу \(\vec{b}\). Он будет равен 6 клеткам вправо.

2. Вектор \(\vec{c} + \vec{a} - \vec{b}\):

• Правило: Вычитание вектора \(\vec{b}\) — это то же самое, что сложение вектора, противоположного \(\vec{b}\). То есть \(\vec{c} + \vec{a} - \vec{b} = \vec{c} + \vec{a} + (-\vec{b})\). Вектор \(-\vec{b}\) имеет такое же направление, что и \(\vec{b}\), но противоположное.
• Построение:
• Сначала найдем \(\vec{a} - \vec{b}\). Это будет вектор, идущий от конца \(\vec{b}\) к концу \(\vec{a}\) (если оба вектора начинаются из одной точки).
• \(\vec{a}\) (4 вправо, 2 вверх), \(\vec{b}\) (2 вправо, 2 вниз). \(\vec{a} - \vec{b}\) будет: (4-2) вправо, (2-(-2)) вверх = 2 вправо, 4 вверх.
• Теперь прибавим \(\vec{c}\): \(\vec{c}\) (2 вниз).
• Складываем \((\vec{a} - \vec{b}) + \vec{c}\): (2 вправо, 4 вверх) + (2 вниз) = 2 вправо, (4-2) вверх = 2 вправо, 2 вверх.

3. Вектор \(3\vec{c} + 2\vec{a} - \vec{b}\):

• Правило: Умножение вектора на число означает, что мы растягиваем или сжимаем вектор, сохраняя его направление. \(3\vec{c}\) — это вектор \(\vec{c}\), нарисованный 3 раза подряд. \(2\vec{a}\) — это вектор \(\vec{a}\), нарисованный 2 раза подряд.
• Построение:
• \(3\vec{c}\): \(\vec{c}\) идет на 2 клетки вниз. Значит, \(3\vec{c}\) идет на \(3 imes 2 = 6\) клеток вниз.
• \(2\vec{a}\): \(\vec{a}\) идет на 4 клетки вправо и 2 клетки вверх. Значит, \(2\vec{a}\) идет на \(2 imes 4 = 8\) клеток вправо и \(2 imes 2 = 4\) клетки вверх.
• Теперь складываем: \(3\vec{c} + 2\vec{a}\) = (6 вниз) + (8 вправо, 4 вверх) = 8 вправо, (4-6) вверх = 8 вправо, 2 вниз.
• Вычитаем \(\vec{b}\): (8 вправо, 2 вниз) - (2 вправо, 2 вниз) = (8-2) вправо, (2-2) вниз = 6 вправо, 0 вниз.

Ответ:

• \(\vec{a} + \vec{b}\) — вектор, идущий на 6 клеток вправо.
• \(\vec{c} + \vec{a} - \vec{b}\) — вектор, идущий на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх.
• \(3\vec{c} + 2\vec{a} - \vec{b}\) — вектор, идущий на 6 клеток вправо.