6. Диагональ АС ромба ABCD равна 60, a tg ∠BCA = 0, 4. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. \( \angle BCA \) — угол между диагональю \( AC \) и стороной \( BC \). В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle BAC = 90^{\circ} \).

1. Дано: \( AC = 60 \), \( \text{tg } \angle BCA = 0.4 = \frac{2}{5} \).
2. \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{60}{2} = 30 \).
3. В \( \triangle BOC \) \( \angle BOC = 90^{\circ} \). \( \text{tg } \angle BCA = \frac{BO}{OC} \).
4. Найдём \( BO \): \( BO = OC \cdot \text{tg } \angle BCA = 30 \cdot 0.4 = 12 \).
5. Диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24 \).
6. Площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 24 = 720 \).
7. Радиус вписанной окружности \( r \) в ромб можно найти по формуле: \( S = 2r \cdot a \), где \( a \) — сторона ромба.
8. Найдём сторону \( BC \) (гипотенузу \( \triangle BOC \)): \( BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{12^2 + 30^2} = \sqrt{144 + 900} = \sqrt{1044} \). \( \sqrt{1044} = \sqrt{36 \cdot 29} = 6\sqrt{29} \).
9. Найдём радиус: \( 720 = 2r \cdot 6\sqrt{29} \) \( 720 = 12r\sqrt{29} \) \( r = \frac{720}{12\sqrt{29}} = \frac{60}{\sqrt{29}} = \frac{60\sqrt{29}}{29} \).

Ответ: $$\frac{60\sqrt{29}}{29}$$.