5. Диагональ АС ромба ABCD равна 16, a tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. \( \angle BCA \) — угол между диагональю \( AC \) и стороной \( BC \). В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle BAC = 90^{\circ} \).

1. Дано: \( AC = 16 \), \( \text{tg } \angle BCA = 0.75 = \frac{3}{4} \).
2. \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
3. В \( \triangle BOC \) \( \angle BOC = 90^{\circ} \). \( \text{tg } \angle BCA = \frac{BO}{OC} \).
4. Найдём \( BO \): \( BO = OC \cdot \text{tg } \angle BCA = 8 \cdot 0.75 = 6 \).
5. Диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12 \).
6. Площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \).
7. Радиус вписанной окружности \( r \) в ромб можно найти по формуле: \( S = 2r \cdot a \), где \( a \) — сторона ромба.
8. Найдём сторону \( BC \) (гипотенузу \( \triangle BOC \)): \( BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).
9. Найдём радиус: \( 96 = 2r \cdot 10 \) \( 96 = 20r \) \( r = \frac{96}{20} = 4.8 \).

Ответ: 4.8.