5. Диагональ АС ромба ABCD равна 16, a tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - О. Тогда АО = ОС = 16/2 = 8. В прямоугольном треугольнике ВОС, tg ∠BCA = BO/OC. 0,75 = BO/8. BO = 0,75 * 8 = 6. Сторона ромба BC = √(BO² + OC²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Площадь ромба S = (AC * BD) / 2 = (16 * 12) / 2 = 96. Радиус вписанной окружности r = S / p, где p - полупериметр. p = (4 * 10) / 2 = 20. r = 96 / 20 = 4,8.