6. Диагональ куба равна \(\sqrt{88}\). Найти его объём.

Дано:

Куб;

Диагональ \( d = \sqrt{88} \).

Найти:

Объём \( V \).

Решение:

Диагональ куба \( d \) связана с длиной его ребра \( a \) формулой \( d = a \sqrt{3} \).

Найдём ребро куба:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{88}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{88}{3}} \text{ м} \]

Объём куба равен кубу его ребра:

\[ V = a^3 = \left(\sqrt{\frac{88}{3}}\right)^3 = \left(\frac{88}{3}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{88}{3} \sqrt{\frac{88}{3}} \text{ м}^3 \]

Упростим выражение:

\[ V = \frac{88}{3} \cdot \frac{\sqrt{88}}{\sqrt{3}} = \frac{88 \cdot \sqrt{4 \cdot 22}}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{88 \cdot 2 \sqrt{22}}{3 \sqrt{3}} = \frac{176 \sqrt{22}}{3 \sqrt{3}} = \frac{176 \sqrt{22} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{176 \sqrt{66}}{9} \text{ м}^3 \]

Ответ: \(\frac{176 \sqrt{66}}{9}\) м³