6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её боковая сторона равна 12 см, а периметр — 42 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а высота — \(h\). В равнобокой трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(x=\frac{|a-b|}{2}\).

Шаг 1. По периметру \(a+b+2\cdot12=42\), поэтому \(a+b=18\).

Шаг 2. Диагонали имеют горизонтальные составляющие величины \(\frac{a+b}{2}\) и противоположных направлений, а вертикальные составляющие равны \(h\). Их перпендикулярность даёт \(h^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\).

Шаг 3. Подставляем сумму оснований: \(h=\frac{18}{2}=9\) см.

Ответ: 9 см.