6. Докажите тождество: $\left(\frac{1}{\sqrt{6}-m}-\frac{1}{\sqrt{6}+m}\right)\cdot\frac{3m^2-18}{\sqrt{m}}=-6\sqrt{m}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Докажите тождество: $\left(\frac{1}{\sqrt{6}-m}-\frac{1}{\sqrt{6}+m}\right)\cdot\frac{3m^2-18}{\sqrt{m}}=-6\sqrt{m}$.$ Фото задания

6. Докажите тождество: $\left(\frac{1}{\sqrt{6}-m}-\frac{1}{\sqrt{6}+m}\right)\cdot\frac{3m^2-18}{\sqrt{m}}=-6\sqrt{m}$.

Accepted Answer

Область допустимых значений: $m>0$ (из-за $\sqrt m$ в знаменателе) и $m\ne\sqrt6$ (чтобы $\sqrt6-m\ne0$).

Приведём разность дробей к общему знаменателю: $\frac{1}{\sqrt6-m}-\frac{1}{\sqrt6+m}=\frac{(\sqrt6+m)-(\sqrt6-m)}{(\sqrt6-m)(\sqrt6+m)}=\frac{2m}{6-m^2}$.
Разложим числитель второго множителя: $3m^2-18=3(m^2-6)=-3(6-m^2)$.
Подставим и сократим: $\frac{2m}{6-m^2}\cdot\frac{-3(6-m^2)}{\sqrt m}=-\frac{6m}{\sqrt m}=-6\sqrt m$.

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях $m$; тождество доказано.

6. Докажите тождество: \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}-m}-\frac{1}{\sqrt{6}+m}\right)\cdot\frac{3m^2-18}{\sqrt{m}}=-6\sqrt{m}\).

Ответ: