6. Две стороны треугольника равны 2√3 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

Обозначим третью сторону через \(c\), а противоположный ей угол — через \(C\). По теореме синусов \(c=2R\sin C\). Условие \(c=R\) означает, что \(\sin C=\frac12\), поэтому \(C=30^\circ\) или \(C=150^\circ\).

По теореме косинусов при известных сторонах 2√3 см и 8 см:

Если \(C=30^\circ\), то \(c^2=(2\sqrt3)^2+8^2-2\cdot2\sqrt3\cdot8\cos30^\circ=76-48=28\), значит, \(c=2\sqrt7\) см.

Если \(C=150^\circ\), то \(c^2=76-2\cdot2\sqrt3\cdot8\cos150^\circ=76+48=124\), значит, \(c=2\sqrt{31}\) см.

Ответ: 2√7 см или 2√31 см.