7. Найдите угол A тупоугольника ABC, если: 1) AB = 6 см; BC = 2√6 см; ∠C = 60°; 2) AC = 4 см; BC = √2 см; ∠B = 30°. Сколько решений в каждом случае имеет задача?

1) По теореме синусов \(\sin A=\frac{BC\sin C}{AB}=\frac{2\sqrt6\cdot\sin60^\circ}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\). Возможные углы A — 60° и 120°. Поскольку треугольник тупоугольный, угол A должен быть тупым, поэтому \(A=120^\circ\). Угол B равен 0°, что невозможно для треугольника. Следовательно, такого треугольника нет.

2) По теореме синусов \(\sin A=\frac{BC\sin B}{AC}=\frac{\sqrt2\cdot\sin30^\circ}{4}=\frac{\sqrt2}{8}\). Получаются два возможных значения угла A: \(A=\arcsin(\frac{\sqrt2}{8})\) или \(A=180^\circ-\arcsin(\frac{\sqrt2}{8})\). Во втором случае A тупой, и оба значения совместимы с \(B=30^\circ\); значит, второй вариант и задаёт тупоугольный треугольник. Его угол \(A=180^\circ-\arcsin(\frac{\sqrt2}{8})\approx169.8^\circ\).

Ответ: 1) решений нет; 2) одно решение, ∠A ≈ 169.8°.