6) \(\int\)_1^2 \(\frac{1}{x^3}\) dx;

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_1^2 \frac{1}{x^3} dx \) воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

1. Перепишем подынтегральную функцию как \( x^{-3} \).
2. Найдём первообразную для функции \( f(x) = x^{-3} \). Первообразной является \( F(x) = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2} \).
3. Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:
• \( F(2) = -\frac{1}{2 \cdot 2^2} = -\frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{8} \)
• \( F(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1^2} = -\frac{1}{2} \)
4. Вычтем значение первообразной в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:
5. \( \int_1^2 \frac{1}{x^3} dx = F(2) - F(1) = (-\frac{1}{8}) - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} \)
6. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{-1 + 4}{8} = \frac{3}{8} \)

Ответ: \( \frac{3}{8} \)