№6. Из вершины B прямоугольника ABCD опущен перпендикуляр BE на диагональ AC так, что AE:EC = 1:3. Найдите периметр треугольника AOB, если O — точка пересечения диагоналей прямоугольника, а AB = 12 см.

В прямоугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому O — середина AC. Из AE:EC = 1:3 следует AE = AC/4, а значит AO = AC/2 и EO = AC/4. Следовательно, EO = AO/2.

Треугольник ABE прямоугольный при E. Пусть AE = t; тогда EC = 3t и AC = 4t. По теореме Пифагора в треугольнике ABE: AB² = AE² + BE², поэтому 12² = t² + BE².

Из подобия прямоугольных треугольников ABE и CBE (или из их катетных отношений при общей высоте к AC) получаем AE · EC = BE². Значит, BE² = 3t². Тогда 144 = 4t², откуда t = 6 см. Следовательно, AC = 24 см, AO = 12 см и BE = 6√3 см.

Точка O лежит на AC, поэтому ∠AEB = 90° и для прямоугольного треугольника AOB можно найти OB по теореме Пифагора: OB² = AB² + AO² = 12² + 12², откуда OB = 12√2 см.

Периметр равен AB + AO + OB = 12 + 12 + 12√2.

Ответ: 24 + 12√2 см.