Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
1. Построение четырёхугольника АВСК:
Отметим на координатной плоскости точки:
- А(2; 4)
- B(5; 1)
- C(0; -4)
- K(-3; -1)
Соединим точки последовательно: А-В-С-К-А.
2. Нахождение координат точки пересечения отрезков АС и ВК:
Для этого найдём уравнения прямых, проходящих через точки А и С, и через точки В и К.
Уравнение прямой АС:
Точки: А(2; 4), C(0; -4).
Угловой коэффициент \(k_{AC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 4}{0 - 2} = \frac{-8}{-2} = 4\).
Уравнение прямой имеет вид \(y = kx + b\). Подставим координаты точки А(2; 4) и \(k_{AC} = 4\):
\[ 4 = 4 \cdot 2 + b \]\(4 = 8 + b\)
\[ b = 4 - 8 = -4 \]Уравнение прямой АС: \(y = 4x - 4\).
Уравнение прямой ВК:
Точки: B(5; 1), K(-3; -1).
Угловой коэффициент \(k_{BK} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 1}{-3 - 5} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}\).
Подставим координаты точки B(5; 1) и \(k_{BK} = \frac{1}{4}\):
\[ 1 = \frac{1}{4} \cdot 5 + b \]\(1 = \frac{5}{4} + b\)
\[ b = 1 - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \]Уравнение прямой ВК: \(y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}\).
Найдём точку пересечения прямых АС и ВК, приравняв их уравнения:
\[ 4x - 4 = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} \]Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ 16x - 16 = x - 1 \]Перенесём члены с \(x\) в левую часть, а числа — в правую:
\[ 16x - x = 16 - 1 \]\(15x = 15\)
\[ x = 1 \]Теперь найдём \(y\), подставив \(x = 1\) в любое из уравнений прямых. Возьмём уравнение прямой АС:
\[ y = 4x - 4 = 4 \cdot 1 - 4 = 4 - 4 = 0 \]Координаты точки пересечения отрезков АС и ВК — (1; 0).
Визуализация:
Ответ: Координаты точки пересечения отрезков АС и ВК равны (1; 0).
