6. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 11 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Привет! Давай посчитаем, какое расстояние пролетит камень за первые 5 секунд. Мы знаем, что каждый раз камень пролетает на 10 метров больше, чем в предыдущую секунду. Это значит, что у нас снова арифметическая прогрессия!

Дано:

• Расстояние, пролетевшее в 1-ю секунду (\[a_1\]) = 11 метров
• Увеличение расстояния каждую следующую секунду (\[d\]) = 10 метров
• Количество секунд (\[n\]) = 5

Найти:

• Общее расстояние, пролетевшее за первые 5 секунд (\[S_5\]).

Решение:

Чтобы найти общее расстояние, нам нужно сложить расстояния, пролетевшие в каждую из первых пяти секунд. Мы можем посчитать это вручную, а можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Способ 1: Ручной подсчет

1. 1-я секунда: 11 метров
2. 2-я секунда: 11 + 10 = 21 метр
3. 3-я секунда: 21 + 10 = 31 метр
4. 4-я секунда: 31 + 10 = 41 метр
5. 5-я секунда: 41 + 10 = 51 метр

Теперь сложим все эти расстояния:

\[ 11 + 21 + 31 + 41 + 51 = 155 \(\text{ метров}\) \)

Способ 2: Формула суммы арифметической прогрессии

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \(\frac{a_1 + a_n}{2}\) \(\times\) n \)

Мы знаем \[ a_1 = 11 \) м и \[ n = 5 \). Но нам нужно найти \[ a_5 \) (расстояние, пролетевшее в 5-ю секунду) сначала.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + d \(\times\) (n - 1) \)

Найдем \[ a_5 \):

\[ a_5 = 11 + 10 \(\times\) (5 - 1) \)

\[ a_5 = 11 + 10 \(\times\) 4 \)

\[ a_5 = 11 + 40 \)

\[ a_5 = 51 \(\text{ метр}\) \)

Теперь подставим \[ a_1 \) и \[ a_5 \) в формулу суммы:

\[ S_5 = \(\frac{11 + 51}{2}\) \(\times\) 5 \)

\[ S_5 = \(\frac{62}{2}\) \(\times\) 5 \)

\[ S_5 = 31 \(\times\) 5 \)

\[ S_5 = 155 \(\text{ метров}\) \)

Оба способа дают одинаковый результат!

Ответ: 155 метров