6) $\log_{2}(x-2)+\log_{1/3}(12-x)\ge -2$

Question

Вопрос: $Фото задания: 6) $\log_{2}(x-2)+\log_{1/3}(12-x)\ge -2$$ Фото задания

6) $\log_{2}(x-2)+\log_{1/3}(12-x)\ge -2$

Accepted Answer

Область определения: $x-2>0$ и $12-x>0$, поэтому $2<x<12$.

Обозначим левую часть через $f(x)$. На области определения она строго возрастает: $\log_2(x-2)$ возрастает, а $\log_{1/3}(12-x)$ тоже возрастает, поскольку при увеличении $x$ аргумент $12-x$ уменьшается, а логарифм с основанием меньше 1 возрастает при уменьшении аргумента.

Проверим значение $x=3$: $\log_2(3-2)+\log_{1/3}(12-3)=\log_2 1+\log_{1/3}9=0-2=-2$. Так как левая часть строго возрастает, неравенство выполняется при $x\ge 3$, с учётом области определения.

Ответ: $x\in[3;12)$.

6) \(\log_{2}(x-2)+\log_{1/3}(12-x)\ge -2\)

Ответ: