6. Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 18 см. O — точка пересечения его диагоналей. Угол AOD равен 120°. Найти длину диагоналей.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(a=18\) см, а большая — \(b\). Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA=OD\). В треугольнике AOD угол при вершине O равен \(120^\circ\), а углы при основании равны \((180^\circ-120^\circ):2=30^\circ\).

Диагональ образует с большей стороной угол \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\): \(\tan 30^\circ=a/b\). Следовательно, \(b=18\sqrt{3}\) см.

По теореме Пифагора длина диагонали \(d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{18^2+(18\sqrt{3})^2}=\sqrt{1296}=36\) см. Диагонали прямоугольника равны.

Ответ: каждая диагональ равна 36 см.