№ 6. Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения реки равна 1км/ч. Какова скорость моторной лодки в стоячей воде?

Решение:

1. Пусть $$v$$ — скорость моторной лодки в стоячей воде (км/ч).
2. Скорость лодки против течения: $$(v - 1)$$ км/ч.
3. Скорость лодки по течению: $$(v + 1)$$ км/ч.
4. Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{28}{v-1}$$ часа.
5. Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{16}{v+1}$$ часа.
6. Общее время в пути равно 3 часа, следовательно, составим уравнение:
   • $$\frac{28}{v-1} + \frac{16}{v+1} = 3$$
7. Умножим обе части уравнения на $$(v-1)(v+1)$$ для избавления от знаменателей:
   • $$28(v+1) + 16(v-1) = 3(v-1)(v+1)$$
   • $$28v + 28 + 16v - 16 = 3(v^2 - 1)$$
   • $$44v + 12 = 3v^2 - 3$$
8. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
   • $$3v^2 - 44v - 15 = 0$$
9. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 1936 + 180 = 2116$$.
10. Вычислим корни:
    • $$v_1 = \frac{44 + \sqrt{2116}}{2 \cdot 3} = \frac{44 + 46}{6} = \frac{90}{6} = 15$$.
    • $$v_2 = \frac{44 - \sqrt{2116}}{2 \cdot 3} = \frac{44 - 46}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$.
11. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 15 км/ч