6. Моторная лодка прошла против течения реки 105 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Пусть \( v \) км/ч — скорость лодки в неподвижной воде.
2. Скорость лодки против течения: \( v - 3 \) км/ч.
3. Время движения против течения: \( t_1 = \frac{105}{v - 3} \) часов.
4. Скорость лодки по течению: \( v + 3 \) км/ч.
5. Время движения по течению: \( t_2 = \frac{105}{v + 3} \) часов.
6. По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 2 часа меньше: \( t_1 - t_2 = 2 \).
7. \( \frac{105}{v - 3} - \frac{105}{v + 3} = 2 \).
8. Умножим обе части уравнения на \( (v - 3)(v + 3) \): \( 105(v + 3) - 105(v - 3) = 2(v - 3)(v + 3) \).
9. Раскроем скобки: \( 105v + 315 - 105v + 315 = 2(v^2 - 9) \).
10. Упростим: \( 630 = 2v^2 - 18 \).
11. \( 630 + 18 = 2v^2 \).
12. \( 648 = 2v^2 \).
13. \( v^2 = \frac{648}{2} = 324 \).
14. \( v = \sqrt{324} = 18 \) км/ч.

Ответ: 18 км/ч.