7. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 27 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 6 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 14 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Пусть \( x \) км/ч — скорость течения реки.
2. Скорость теплохода по течению: \( 6 + x \) км/ч.
3. Время движения теплохода по течению: \( t_{1} = \frac{27}{6 + x} \) часов.
4. Скорость теплохода против течения: \( 6 - x \) км/ч.
5. Время движения теплохода против течения: \( t_{2} = \frac{27}{6 - x} \) часов.
6. Общее время в пути равно 14 часам. Из них 2 часа — стоянка. Значит, время движения равно \( 14 - 2 = 12 \) часов.
7. \( t_{1} + t_{2} = 12 \).
8. \( \frac{27}{6 + x} + \frac{27}{6 - x} = 12 \).
9. Разделим обе части уравнения на 3: \( \frac{9}{6 + x} + \frac{9}{6 - x} = 4 \).
10. Приведём к общему знаменателю \( (6 + x)(6 - x) \): \( \frac{9(6 - x) + 9(6 + x)}{(6 + x)(6 - x)} = 4 \).
11. \( \frac{54 - 9x + 54 + 9x}{36 - x^2} = 4 \).
12. \( \frac{108}{36 - x^2} = 4 \).
13. \( 108 = 4(36 - x^2) \).
14. \( 108 = 144 - 4x^2 \).
15. \( 4x^2 = 144 - 108 \).
16. \( 4x^2 = 36 \).
17. \( x^2 = \frac{36}{4} = 9 \).
18. \( x = \sqrt{9} = 3 \) км/ч. (Скорость течения не может быть отрицательной).

Ответ: 3 км/ч.