6. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Решение:

Пусть \( x \) – количество деталей, которое делает мастер в час.

Тогда количество деталей, которое делает ученик в час: \( x - 4 \).

Время изготовления 462 деталей мастером: \( \frac{462}{x} \) часов.

Время изготовления 231 детали учеником: \( \frac{231}{x-4} \) часов.

По условию, ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер: \( \frac{231}{x-4} = \frac{462}{x} + 11 \).

Разделим всё уравнение на 231: \( \frac{1}{x-4} = \frac{2}{x} + \frac{11}{231} \).

\( \frac{1}{x-4} = \frac{2}{x} + \frac{1}{21} \).

Приведём правую часть к общему знаменателю \( 21x \): \( \frac{1}{x-4} = \frac{42 + x}{21x} \).

\( 21x = (x-4)(x+42) \).

\( 21x = x^2 + 42x - 4x - 168 \).

\( 21x = x^2 + 38x - 168 \).

\( x^2 + 17x - 168 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{961} = 31 \).

\( x_1 = \frac{-17 + 31}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

\( x_2 = \frac{-17 - 31}{2} = \frac{-48}{2} = -24 \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Скорость мастера: \( 7 \) деталей в час.

Скорость ученика: \( 7 - 4 = 3 \) детали в час.

Ответ: 3 детали в час.