6. На рисунке RM = 6, ∠RMT = 90°, ∠MRT = 45°, точки M, T, S лежат на одной прямой, ∠RST = 30°, RT = y? На рисунке обозначено: TS = x, RS = y. Найти x и y.

В прямоугольном треугольнике RMT угол при R равен 45°, поэтому это равнобедренный прямоугольный треугольник. Гипотенуза \(RT=6\), следовательно:

\[RT=6.\]

Рассмотрим треугольник RST. Его углы:

\[\angle R=45^\circ,\qquad \angle S=30^\circ,\qquad \angle T=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.\]

По теореме синусов:

\[\frac{x}{\sin45^\circ}=\frac{6}{\sin30^\circ},\qquad x=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=6.\]

Для стороны \(y=RS\):

\[\frac{y}{\sin105^\circ}=\frac{6}{\sin30^\circ},\qquad y=\frac{6\sin105^\circ}{\sin30^\circ}=6\sin105^\circ=3(\sqrt3+1).\]

\(y\approx8.20\).

Ответ: \(x=6\), \(y=3(\sqrt3+1)\approx8.20\).