6. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы AO, AK, KD через векторы a = AB и b = AD.

Обозначим точку A началом отсчёта. Тогда положение вершин задаётся векторами B = a, D = b, C = a + b.

1. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = (a + b)/2.
2. K — середина BC, поэтому её радиус-вектор равен (a + (a + b))/2 = a + b/2. Следовательно, AK = a + b/2.
3. KD = D − K = b − (a + b/2) = −a + b/2.

Ответ: AO = (a + b)/2; AK = a + b/2; KD = −a + b/2.