6. Найдите корень уравнения: \( \sqrt{-20 - 9x} = -x \).

Решение:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( -20 - 9x = (-x)^2 \)
2. \( -20 - 9x = x^2 \)
3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + 9x + 20 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4
   
   
   
   
   1
   
   
   
   
   20 = 81 - 80 = 1 \)
5. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2
   
   
   
   
   1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
6. \( x_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2
   
   
   
   
   1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
7. Проверим полученные корни в исходном уравнении, учитывая, что \( -x \) должно быть неотрицательным (так как оно равно квадратному корню):
8. Для \( x = -4 \): \( \sqrt{-20 - 9(-4)} = \sqrt{-20 + 36} = \sqrt{16} = 4 \). Правая часть: \( -(-4) = 4 \). \( 4 = 4 \). Корень \( x = -4 \) подходит.
9. Для \( x = -5 \): \( \sqrt{-20 - 9(-5)} = \sqrt{-20 + 45} = \sqrt{25} = 5 \). Правая часть: \( -(-5) = 5 \). \( 5 = 5 \). Корень \( x = -5 \) подходит.

Ответ: -4; -5