8. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение:

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

На рисунке изображена касательная, проходящая через точки \( (0, 0) \) и \( (x_0, y_0) \). Из рисунка видно, что касательная проходит через точки \( (0, 0) \) и \( (1, 2) \) (поскольку \( x_0=1 \) и \( y_0=2 \)).

Найдем угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной:

\( k = \tan(\alpha) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

Используем точки \( (0, 0) \) и \( (1, 2) \):

\( k = \frac{2 - 0}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2 \).

Следовательно, значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) равно угловому коэффициенту касательной.

\( f'(x_0) = k = 2 \).

Ответ: 2