6. Найдите косинус угла между векторами а и Б, если векторы m=а+2б и п = 6а - в перпендикулярны, |a|= 1, |b|=2.

Дано:

• Векторы $$
u \text{a} $$ и $$
u \text{b} $$
• $$
u \text{m} =
u \text{a} + 2
u \text{b} $$
• $$
u \text{n} = 6
u \text{a} -
u \text{b} $$
• $$
u \text{m}
u \text{⊥}
u \text{n} $$ (векторы перпендикулярны)
• $$ |
u \text{a}| = 1 $$
• $$ |
u \text{b}| = 2 $$

Найти:

• $$ \text{cos}(
u \text{θ}) $$, где $$
u \text{θ} $$ — угол между $$
u \text{a} $$ и $$
u \text{b} $$

Решение:

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

$$
u \text{m} \cdot
u \text{n} = 0 $$

Распишем скалярное произведение:

$$ (
u \text{a} + 2
u \text{b}) \cdot (6
u \text{a} -
u \text{b}) = 0 $$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$$
u \text{a} \cdot (6
u \text{a}) +
u \text{a} \cdot (-
u \text{b}) + (2
u \text{b}) \cdot (6
u \text{a}) + (2
u \text{b}) \cdot (-
u \text{b}) = 0 $$

$$ 6(
u \text{a} \cdot
u \text{a}) - (
u \text{a} \cdot
u \text{b}) + 12(
u \text{b} \cdot
u \text{a}) - 2(
u \text{b} \cdot
u \text{b}) = 0 $$

Вспомним, что $$
u \text{x} \cdot
u \text{x} = |
u \text{x}|^2 $$ и $$
u \text{x} \cdot
u \text{y} =
u \text{y} \cdot
u \text{x} $$.

$$ 6|
u \text{a}|^2 - (
u \text{a} \cdot
u \text{b}) + 12(
u \text{a} \cdot
u \text{b}) - 2|
u \text{b}|^2 = 0 $$

$$ 6|
u \text{a}|^2 + 11(
u \text{a} \cdot
u \text{b}) - 2|
u \text{b}|^2 = 0 $$

Теперь подставим известные значения модулей векторов:

$$ |
u \text{a}| = 1 \implies |
u \text{a}|^2 = 1 $$

$$ |
u \text{b}| = 2 \implies |
u \text{b}|^2 = 4 $$

$$ 6(1) + 11(
u \text{a} \cdot
u \text{b}) - 2(4) = 0 $$

$$ 6 + 11(
u \text{a} \cdot
u \text{b}) - 8 = 0 $$

$$ 11(
u \text{a} \cdot
u \text{b}) - 2 = 0 $$

$$ 11(
u \text{a} \cdot
u \text{b}) = 2 $$

$$
u \text{a} \cdot
u \text{b} = \frac{2}{11} $$

По определению скалярного произведения:

$$
u \text{a} \cdot
u \text{b} = |
u \text{a}| |
u \text{b}| \text{cos}(
u \text{θ}) $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{2}{11} = (1)(2) \text{cos}(
u \text{θ}) $$

$$ \frac{2}{11} = 2 \text{cos}(
u \text{θ}) $$

Теперь найдем косинус угла:

$$ \text{cos}(
u \text{θ}) = \frac{2/11}{2} = \frac{1}{11} $$

Ответ: cos(θ) = 1/11