6. Найдите косинус угла между векторами а и Б, если векторы т = а + 2б и n = 6а - б перпендикулярны, |a|= 1, |Б| = 2.

Привет! Давай найдем косинус угла между векторами a и b.

У нас дано:

• Векторы t = a + 2b и n = 6a - b перпендикулярны.
• Длины векторов: |a| = 1, |b| = 2.

Из условия перпендикулярности векторов t и n следует, что их скалярное произведение равно нулю:

t ⋅ n = 0

(a + 2b) ⋅ (6a - b) = 0

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

6(a ⋅ a) - (a ⋅ b) + 12(b ⋅ a) - 2(b ⋅ b) = 0

Вспомним, что a ⋅ a = |a|², b ⋅ b = |b|² и a ⋅ b = b ⋅ a.

6|a|² + 11(a ⋅ b) - 2|b|² = 0

Теперь подставим известные значения длин векторов:

6 * (1)² + 11(a ⋅ b) - 2 * (2)² = 0

6 + 11(a ⋅ b) - 2 * 4 = 0

6 + 11(a ⋅ b) - 8 = 0

11(a ⋅ b) - 2 = 0

11(a ⋅ b) = 2

a ⋅ b = 2/11

Теперь вспомним формулу скалярного произведения через косинус угла:

a ⋅ b = |a| * |b| * cos(α)

Где α — угол между векторами a и b.

Подставим найденное значение скалярного произведения и известные длины векторов:

2/11 = 1 * 2 * cos(α)

2/11 = 2 * cos(α)

Теперь найдем cos(α):

cos(α) = (2/11) / 2

cos(α) = 1/11

Ответ: Косинус угла между векторами а и b равен 1/11.