6. Найдите косинус угла между векторами \( \vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b} \) и \( \vec{n} = 6\vec{a} - \vec{b} \), если векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) перпендикулярны, \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = 2 \).

Решение:

Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \).

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (6\vec{a} - \vec{b}) \)

Раскроем скобки:

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot (6\vec{a}) + \vec{a} \cdot (-\vec{b}) + (2\vec{b}) \cdot (6\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot (-\vec{b}) \)

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 6 \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + 12 \vec{b} \cdot \vec{a} - 2 \vec{b} \cdot \vec{b} \)

Поскольку \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \).

Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) и \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \).

Подставим известные значения:

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 6 |\vec{a}|^2 - 0 + 12 \cdot 0 - 2 |\vec{b}|^2 \)

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 6 (1)^2 - 2 (2)^2 \)

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 6 \cdot 1 - 2 \cdot 4 \)

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 6 - 8 = -2 \).

Теперь найдём длины векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \).

\( |\vec{m}|^2 = \vec{m} \cdot \vec{m} = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot 2\vec{b}) + (2\vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 \)

\( |\vec{m}|^2 = 1^2 + 4(0) + 4(2^2) = 1 + 16 = 17 \) \( \Rightarrow |\vec{m}| = \sqrt{17} \).

\( |\vec{n}|^2 = \vec{n} \cdot \vec{n} = (6\vec{a} - \vec{b}) \cdot (6\vec{a} - \vec{b}) = (6\vec{a})^2 - 2(6\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 \)

\( |\vec{n}|^2 = 36|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 \)

\( |\vec{n}|^2 = 36(1^2) - 12(0) + 2^2 = 36 + 4 = 40 \) \( \Rightarrow |\vec{n}| = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \).

Косинус угла \( \theta \) между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) вычисляется по формуле:

\( \cos(\theta) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} \)

\( \cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{40}} = \frac{-2}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{170}} \)

\( \cos(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{170}} = -\frac{\sqrt{170}}{170} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{170}}{170} \).