6. Найдите производных функций:

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• а) y = ln(2x+3)
• Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x))  g'(x) \).
• Производная натурального логарифма \( ( ext{ln } u)' = rac{1}{u} \), где \( u = 2x+3 \).
• Производная \( u = 2x+3 \) равна \( 2 \).
• Следовательно, \( y' = rac{1}{2x+3}  2 = rac{2}{2x+3} \).
• б) y = log_1/2(2x-4x²)
• Используем формулу производной логарифма по основанию: \( ( ext{log}_{a} u)' = rac{1}{u ext{ ln } a} \).
• Здесь \( a = rac{1}{2} \) и \( u = 2x-4x^2 \).
• Производная \( u = 2x-4x^2 \) равна \( 2 - 8x \).
• Знаменатель \( ext{ln } a = ext{ln } rac{1}{2} = ext{ln } 2^{-1} = - ext{ln } 2 \).
• Следовательно, \( y' = rac{1}{(2x-4x^2)(- ext{ln } 2)}  (2-8x) = rac{2-8x}{-(2x-4x^2) ext{ln } 2} = rac{8x-2}{(2x-4x^2) ext{ln } 2} \).
• в) y = x/(x-1)
• Используем правило дифференцирования частного: \( (rac{f}{g})' = rac{f'g - fg'}{g^2} \).
• Здесь \( f = x \) и \( g = x-1 \).
• Производная \( f' = 1 \).
• Производная \( g' = 1 \).
• Следовательно, \( y' = rac{1  (x-1) - x  1}{(x-1)^2} = rac{x-1-x}{(x-1)^2} = rac{-1}{(x-1)^2} \).