8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение x³-(a-3)x² - 3ax = 0 имеет ровно два различных корня.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вынесем общий множитель \( x \) из уравнения: \( x(x^2 - (a-3)x - 3a) = 0 \).
2. Шаг 2: Одно решение — \( x_1 = 0 \).
3. Шаг 3: Теперь рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 - (a-3)x - 3a = 0 \).
4. Шаг 4: Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, квадратное уравнение должно иметь либо один корень, отличный от нуля, либо два корня, один из которых равен нулю, а другой — нет.
5. Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень, отличный от нуля.
• Для этого дискриминант \( D = 0 \).
• \( D = (-(a-3))^2 - 4(1)(-3a) = (a-3)^2 + 12a = a^2 - 6a + 9 + 12a = a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2 \).
• \( D = 0 \) при \( a = -3 \).
• Найдем корень при \( a = -3 \): \( x = rac{-(a-3)}{2} = rac{-(-3-3)}{2} = rac{-(-6)}{2} = 3 \).
• Корень \( x=3 \) отличен от \( x=0 \). Таким образом, при \( a = -3 \) имеем два различных корня: \( 0 \) и \( 3 \).
6. Случай 2: Квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю.
• Если один из корней равен нулю, то подставив \( x=0 \) в квадратное уравнение, получим: \( 0^2 - (a-3)(0) - 3a = 0 \) \( → -3a = 0 \) \( → a = 0 \).
• Найдем второй корень при \( a = 0 \). Квадратное уравнение принимает вид: \( x^2 - (0-3)x - 3(0) = 0 \) \( → x^2 + 3x = 0 \) \( → x(x+3) = 0 \).
• Корни: \( x=0 \) и \( x=-3 \).
• Исходное уравнение имеет два различных корня: \( 0 \) и \( -3 \).
7. Случай 3: Квадратное уравнение имеет два различных корня, один из которых равен нулю, но мы учли это в Случае 2.
8. Случай 4: Квадратное уравнение имеет два различных корня, но мы хотим, чтобы общее количество корней было два.
• Это означает, что квадратное уравнение должно иметь два различных корня, но один из них должен совпадать с \( x=0 \) (что мы рассмотрели в Случае 2), либо оба корня квадратного уравнения должны совпадать с \( x=0 \) (что невозможно, так как \( D = (a+3)^2 \), и \( D=0 \) только при \( a=-3 \), давая один корень).
• Если дискриминант \( D > 0 \), то есть \( (a+3)^2 > 0 \), что верно для всех \( a ≠ -3 \).
• При \( a ≠ -3 \), квадратное уравнение имеет два различных корня \( x_2, x_3 \).
• Мы хотим, чтобы всего было два различных корня. Это значит, что либо \( x_2 = 0 \) (что привело нас к \( a=0 \) и корням \( 0, -3 \)), либо \( x_3 = 0 \) (то же самое), либо \( x_2 = x_3 \) (что происходит при \( a=-3 \), давая один корень \( x=3 \) и в сумме с \( x=0 \) два корня).
• Таким образом, нам подходят случаи, когда квадратное уравнение имеет один корень, отличный от нуля (Случай 1, \( a=-3 \)), и случаи, когда один из корней равен нулю, а другой отличен от нуля (Случай 2, \( a=0 \)).
9. Объединяем все случаи:
• При \( a=-3 \), корни: \( 0, 3 \) (два различных).
• При \( a=0 \), корни: \( 0, -3 \) (два различных).
10. Проверим другие значения 'a', при которых D > 0, то есть a ≠ -3.
• Если \( a e -3 \) и \( a e 0 \), то квадратное уравнение \( x^2 - (a-3)x - 3a = 0 \) имеет два различных корня \( x_2, x_3 \), причем оба не равны нулю.
• В этом случае исходное уравнение будет иметь три различных корня: \( 0, x_2, x_3 \). Нам это не подходит.

Ответ: $$a = -3$$ и $$a = 0$$.