6. Найдите целые решения системы неравенств \(\begin{cases}(x+2)(x+3)-x(x+1)\ge3x+3,\\5x-3<2x+1.\end{cases}\)

Упростим первое неравенство: \((x+2)(x+3)-x(x+1)=x^2+5x+6-x^2-x=4x+6\). Тогда \(4x+6\ge3x+3\), откуда \(x\ge-3\).

Из второго неравенства: \(5x-3<2x+1\), значит, \(3x<4\), то есть \(x<\dfrac{4}{3}\).

Общее решение системы: \(-3\le x<\dfrac{4}{3}\). Целые числа в этом промежутке: \(-3,-2,-1,0,1\).

Ответ: \(-3,-2,-1,0,1\).