8. Докажите неравенство: \(m^2+37n^2+12mn-8n+20>0\).

Преобразуем левую часть, выделив квадраты:

\(m^2+37n^2+12mn-8n+20=(m+6n)^2+n^2-8n+20\).

Дополняем выражение \(n^2-8n+20\) до квадрата: \(n^2-8n+20=(n-4)^2+4\).

Следовательно, левая часть равна \((m+6n)^2+(n-4)^2+4\). Квадраты неотрицательны, а \(4>0\), поэтому сумма строго положительна при любых действительных \(m,n\).

Неравенство доказано.