6. Найдите вероятность наступления ровно 5 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p=0,5.

Задание 6

Это задача на биномиальное распределение. Формула Бернулли для нахождения вероятности ровно \( k \) успехов в \( n \) независимых испытаниях выглядит так:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где:

• \( n \) — число испытаний (у нас \( n = 9 \)).
• \( k \) — число успехов (у нас \( k = 5 \)).
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (у нас \( p = 0.5 \)).
• \( q \) — вероятность неудачи в одном испытании \( q = 1 - p \) (у нас \( q = 1 - 0.5 = 0.5 \)).
• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), которое вычисляется как \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

1. Вычислим число сочетаний \( C_9^5 \):

\[ C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126 \]

2. Подставим все значения в формулу Бернулли:

\[ P(X=5) = C_9^5 · (0.5)^5 · (0.5)^{9-5} \]

\[ P(X=5) = 126 · (0.5)^5 · (0.5)^4 \]

\[ P(X=5) = 126 · (0.5)^9 \]

\[ (0.5)^9 = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512} \]

\[ P(X=5) = 126 · \frac{1}{512} = \frac{126}{512} \]

3. Упростим дробь и переведем в десятичный вид:

\[ \frac{126}{512} = \frac{63}{256} \]

Теперь вычислим десятичное значение:

\[ \frac{63}{256} \approx 0.24609375 \]

Сравним с предложенными вариантами. Ближайший вариант — 0,2578. Возможно, в условии или вариантах ответа есть небольшая погрешность, или округление. Однако, если пересчитать \( C_9^5 · p^5 · (1-p)^4 \) с \( p=0.5 \), то получается \( 126 · (0.5)^9 = 126/512 \approx 0.246 \). Давайте перепроверим варианты. Вариант 2) \(≈ 0.2578\) — это наиболее близкий вариант. Возможно, есть нюанс в формуле или расчетах, но по стандартной формуле получается \(≈ 0.246\). Если предположить, что \(p \) чуть отличается, или \( k \) другое, но задача сформулирована четко. Пересчитаем \( C_9^5 \) — это верно. \( (0.5)^9 \) — верно. \( 126/512 \) — верно. Возможно, один из вариантов ответа неточен.

Внимательно посмотрим на варианты:

• 1) ≈0,4657
• 2) ≈0,2578
• 3) ≈0,6874
• 4) ≈0,3546

Значение 0,246 наиболее близко к 0,2578. Если задача подразумевает использование приближенных значений или округлений, то 2-й вариант является наиболее подходящим.

Ответ: 2) ≈0,2578