6. Найдите значение выражения: \( \frac{x^2 + xy}{x^2} : \frac{x^2 - 81y^2}{5x^8} \) при \( x = 7 - 9\sqrt{2} \), \( y = 5 - \sqrt{2} \)

Сначала упростим выражение:

\[ \frac{x^2 + xy}{x^2} : \frac{x^2 - 81y^2}{5x^8} = \frac{x(x+y)}{x^2} \cdot \frac{5x^8}{x^2 - (9y)^2} = \frac{x+y}{x} \cdot \frac{5x^8}{(x-9y)(x+9y)} \]

Теперь подставим значения \( x = 7 - 9\sqrt{2} \) и \( y = 5 - \sqrt{2} \).

Найдем \( x+y \):

\[ x+y = (7 - 9\sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) = 7 - 9\sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 12 - 10\sqrt{2} \]

Найдем \( x-9y \):

\[ x - 9y = (7 - 9\sqrt{2}) - 9(5 - \sqrt{2}) = 7 - 9\sqrt{2} - 45 + 9\sqrt{2} = 7 - 45 = -38 \]

Найдем \( x+9y \):

\[ x + 9y = (7 - 9\sqrt{2}) + 9(5 - \sqrt{2}) = 7 - 9\sqrt{2} + 45 - 9\sqrt{2} = 52 - 18\sqrt{2} \]

Подставим найденные значения в упрощенное выражение:

\[ \frac{12 - 10\sqrt{2}}{7 - 9\sqrt{2}} \cdot \frac{5(7 - 9\sqrt{2})^8}{(-38)(52 - 18\sqrt{2})} \]

Заметим, что \( 12 - 10\sqrt{2} = 2(6 - 5\sqrt{2}) \) и \( 52 - 18\sqrt{2} = 2(26 - 9\sqrt{2}) \).

Подставим это:

\[ \frac{2(6 - 5\sqrt{2})}{7 - 9\sqrt{2}} \cdot \frac{5(7 - 9\sqrt{2})^8}{(-38) \cdot 2(26 - 9\sqrt{2})} \]

К сожалению, дальнейшее упрощение без калькулятора затруднительно, и, вероятно, в условии есть ошибка или предполагается другой способ решения, который позволяет избежать сложных вычислений с иррациональными числами. Если предположить, что \( x = 9y \) или \( x+y=0 \), тогда упрощение было бы возможно. Однако, с данными условиями, прямое вычисление очень громоздкое.

Предполагая, что в условии есть опечатка и \( x=9y \) или \( x+y=0 \) для упрощения, решение будет иным. Однако, с текущими данными, точное вычисление без калькулятора не представляется возможным для стандартного школьного задания.