Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 6. Найдите значение выражения: x²/(x² - 81y²) : (x² + 9y²)/x при x = 7-9√2; y = 5- √2Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Запишем деление как умножение на обратную дробь: \( \frac{x^2}{x^2 - 81y^2} \cdot \frac{x}{x^2 + 9y^2} = \frac{x^3}{(x^2 - 81y^2)(x^2 + 9y^2)} \)
  2. Это выражение не упрощается дальше без подстановки значений.
  3. Рассмотрим знаменатель \( x^2 - 81y^2 \) как разность квадратов: \( (x - 9y)(x + 9y) \).
  4. Тогда выражение будет: \( \frac{x^3}{(x - 9y)(x + 9y)(x^2 + 9y^2)} \)
  5. Подставим значения \( x = 7 - 9\sqrt{2} \) и \( y = 5 - \sqrt{2} \):
    • \( x - 9y = (7 - 9\sqrt{2}) - 9(5 - \sqrt{2}) = 7 - 9\sqrt{2} - 45 + 9\sqrt{2} = -38 \)
    • \( x + 9y = (7 - 9\sqrt{2}) + 9(5 - \sqrt{2}) = 7 - 9\sqrt{2} + 45 - 9\sqrt{2} = 52 - 18\sqrt{2} \)
    • \( x^2 = (7 - 9\sqrt{2})^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9\sqrt{2} + (9\sqrt{2})^2 = 49 - 126\sqrt{2} + 81 \cdot 2 = 49 - 126\sqrt{2} + 162 = 211 - 126\sqrt{2} \)
    • \( 9y^2 = 9(5 - \sqrt{2})^2 = 9(25 - 10\sqrt{2} + 2) = 9(27 - 10\sqrt{2}) = 243 - 90\sqrt{2} \)
    • \( x^2 + 9y^2 = (211 - 126\sqrt{2}) + (243 - 90\sqrt{2}) = 454 - 216\sqrt{2} \)
  6. Теперь подставим полученные значения в знаменатель: \( (-38) \cdot (52 - 18\sqrt{2}) \cdot (454 - 216\sqrt{2}) \).
  7. Вычислим \( x^3 \). Это будет очень громоздко.
  8. Проверим, нет ли опечатки в задании, возможно, имелось в виду \( \frac{x}{x^2 - 81y^2} : \frac{x^2 + 9y^2}{x} \) или другое упрощение.
  9. Если предположить, что в числителе было \( x \) вместо \( x^2 \) и в знаменателе \( x^2 - 9y^2 \) вместо \( x^2 - 81y^2 \), то: \( \frac{x}{x^2 - 9y^2} \cdot \frac{x}{x^2 + 9y^2} = \frac{x^2}{(x-3y)(x+3y)(x^2+9y^2)} \).
  10. Если предположить, что дробь была \( \frac{x^2 - 81y^2}{x} : \frac{x^2 + 9y^2}{x} \), то \( \frac{x^2 - 81y^2}{x} \cdot \frac{x}{x^2 + 9y^2} = \frac{x^2 - 81y^2}{x^2 + 9y^2} \).
  11. С учётом данных значений, решение становится чрезвычайно сложным и, вероятно, предполагает ошибку в условии.
  12. Однако, если в первой дроби числитель был \( x \), а знаменатель \( x - 9y \), и во второй дроби числитель \( x \), а знаменатель \( x + 9y \), то: \( \frac{x}{x - 9y} : \frac{x^2 + 9y^2}{x} = \frac{x}{x - 9y} \cdot \frac{x}{x^2 + 9y^2} \)
  13. Примем условие как есть.
  14. \( x = 7 - 9\sqrt{2} \approx 7 - 9 \times 1.414 = 7 - 12.726 = -5.726 \)
  15. \( y = 5 - \sqrt{2} \approx 5 - 1.414 = 3.586 \)
  16. \( x^2 = (7 - 9\sqrt{2})^2 = 211 - 126\sqrt{2} \approx 211 - 126 \times 1.414 = 211 - 178.164 = 32.836 \)
  17. \( 81y^2 = 81(5 - \sqrt{2})^2 = 81(25 - 10\sqrt{2} + 2) = 81(27 - 10\sqrt{2}) = 2187 - 810\sqrt{2} \approx 2187 - 810 \times 1.414 = 2187 - 1145.34 = 1041.66 \)
  18. \( x^2 - 81y^2 = (211 - 126\sqrt{2}) - (2187 - 810\sqrt{2}) = -1976 + 684\sqrt{2} \approx -1976 + 684 \times 1.414 = -1976 + 966.776 = -1009.224 \)
  19. \( x^2 + 9y^2 = (211 - 126\sqrt{2}) + 9(27 - 10\sqrt{2}) = 211 - 126\sqrt{2} + 243 - 90\sqrt{2} = 454 - 216\sqrt{2} \approx 454 - 216 \times 1.414 = 454 - 305.424 = 148.576 \)
  20. \( \frac{x^2}{x^2 - 81y^2} = \frac{211 - 126\sqrt{2}}{-1976 + 684\sqrt{2}} \)
  21. \( \frac{x^2 + 9y^2}{x} = \frac{454 - 216\sqrt{2}}{7 - 9\sqrt{2}} \)
  22. \( \frac{x^2}{x^2 - 81y^2} : \frac{x^2 + 9y^2}{x} = \frac{x^3}{(x^2 - 81y^2)(x^2 + 9y^2)} \)
  23. \( x^3 = x \times x^2 = (7 - 9\sqrt{2})(211 - 126\sqrt{2}) = 7(211) - 7(126\sqrt{2}) - 9\sqrt{2}(211) + 9\sqrt{2}(126\sqrt{2}) \)
  24. \( = 1477 - 882\sqrt{2} - 1899\sqrt{2} + 1134 \times 2 = 1477 - 2781\sqrt{2} + 2268 = 3745 - 2781\sqrt{2} \)
  25. \( (x^2 - 81y^2)(x^2 + 9y^2) = (-1976 + 684\sqrt{2})(454 - 216\sqrt{2}) \)
  26. \( = -1976 \times 454 - 1976 \times (-216\sqrt{2}) + 684\sqrt{2} \times 454 - 684\sqrt{2} \times 216\sqrt{2} \)
  27. \( = -897104 + 426784\sqrt{2} + 310376\sqrt{2} - 147744 \times 2 \)
  28. \( = -897104 + 737160\sqrt{2} - 295488 = -1192592 + 737160\sqrt{2} \)
  29. \( \frac{3745 - 2781\sqrt{2}}{-1192592 + 737160\sqrt{2}} \)
  30. Данное выражение крайне сложно для вычисления в рамках школьной программы, что может указывать на опечатку в условии.
  31. Предположим, что было задумано упрощение.
  32. Если бы первая дробь была \( \frac{x}{x^2-9y^2} \) и вторая \( \frac{x}{x^2+9y^2} \), то \( \frac{x^2}{(x-3y)(x+3y)(x^2+9y^2)} \)
  33. Если бы первая дробь была \( \frac{x^2}{x-9y} \) и вторая \( \frac{x}{x+9y} \), то \( \frac{x^3}{(x-9y)(x+9y)} \)
  34. Если бы первая дробь была \( \frac{x^2}{x^2-81y^2} \) и вторая \( \frac{x}{x^2-9y^2} \), то \( \frac{x^3}{(x^2-81y^2)(x^2-9y^2)} \)
  35. Учитывая условие, наиболее вероятным является, что задание было на сокращение, а не на подстановку.
  36. Если бы было \( \frac{x^2}{(x-9y)(x+9y)} : \frac{x}{x^2+9y^2} = \frac{x^2}{(x-9y)(x+9y)} \cdot \frac{x^2+9y^2}{x} = \frac{x(x^2+9y^2)}{(x-9y)(x+9y)} \)
  37. Возможно, в задании допущена опечатка. Примем, что оно решается подстановкой.
  38. \( x^2 - 81y^2 = (x - 9y)(x + 9y) \)
  39. \( x - 9y = (7 - 9\sqrt{2}) - 9(5 - \sqrt{2}) = 7 - 9\sqrt{2} - 45 + 9\sqrt{2} = -38 \)
  40. \( x + 9y = (7 - 9\sqrt{2}) + 9(5 - \sqrt{2}) = 7 - 9\sqrt{2} + 45 - 9\sqrt{2} = 52 - 18\sqrt{2} \)
  41. \( x^2 + 9y^2 = (7 - 9\sqrt{2})^2 + 9(5 - \sqrt{2})^2 = (49 - 126\sqrt{2} + 162) + 9(25 - 10\sqrt{2} + 2) \)
  42. \( = 211 - 126\sqrt{2} + 9(27 - 10\sqrt{2}) = 211 - 126\sqrt{2} + 243 - 90\sqrt{2} = 454 - 216\sqrt{2} \)
  43. \( x^3 = x \times x^2 = (7 - 9\sqrt{2})(211 - 126\sqrt{2}) = 1477 - 882\sqrt{2} - 1899\sqrt{2} + 2268 = 3745 - 2781\sqrt{2} \)
  44. \( (x^2 - 81y^2)(x^2 + 9y^2) = (-38)(52 - 18\sqrt{2})(454 - 216\sqrt{2}) \)
  45. \( = (-38) [ (52 \times 454) - (52 \times 216\sqrt{2}) - (18\sqrt{2} \times 454) + (18\sqrt{2} \times 216\sqrt{2}) ] \)
  46. \( = (-38) [ 23608 - 11232\sqrt{2} - 8172\sqrt{2} + 3888 \times 2 ] \)
  47. \( = (-38) [ 23608 - 19404\sqrt{2} + 7776 ] = (-38) [ 31384 - 19404\sqrt{2} ] \)
  48. \( = -1192592 + 737352\sqrt{2} \)
  49. \( \frac{x^3}{(x^2 - 81y^2)(x^2 + 9y^2)} = \frac{3745 - 2781\sqrt{2}}{-1192592 + 737352\sqrt{2}} \)
  50. Из-за сложности вычислений и вероятной опечатки в условии, невозможно дать точный числовой ответ.

Ответ: выражение сложно для вычисления из-за вероятной опечатки в условии.