6. O — центр окружности; OA, OB и OC — радиусы, угол AOB на 30° больше угла AOC, а угол BOC на 30° больше угла AOB. Причем сумма всех трех углов равна 360°. Найдите хорду AB, если AC = 8 см. а) 6√2 см; б) 4√6 см; в) 5√5 см; г) √8/3 см.

Обозначим \(\angle AOB=x\). Тогда \(\angle AOC=x-30°\), а \(\angle BOC=x+30°\).

Сумма углов вокруг точки O равна 360°:

\(x+(x-30°)+(x+30°)=360°\), откуда \(x=120°\). Значит, \(\angle AOC=90°\).

Для хорды AC: \(8=2R\sin45°\), поэтому \(R=4\sqrt2\) см.

Тогда \(AB=2R\sin(120°/2)=8\sqrt2\cdot\sin60°=4\sqrt6\) см.

Ответ: б) 4√6 см.