8. AM и CK — высоты треугольника ABC. AC = 12√3 см, BK = √24 см, BC = 9√2 см. Найдите отрезок KM. а) 10/√2 см; б) 8√3 см; в) 8 см; г) 6√2 см.

Поскольку CK — высота, треугольник BCK прямоугольный. По теореме Пифагора:

\(CK^2=BC^2-BK^2=(9\sqrt2)^2-(\sqrt{24})^2=162-24=138\).

В треугольнике ACK также применим теорему Пифагора:

\(AK^2=AC^2-CK^2=(12\sqrt3)^2-138=432-138=294\), значит, \(AK=7\sqrt6\).

Так как \(AB=AK+BK=7\sqrt6+2\sqrt6=9\sqrt6\), найдём проекции катетов на BC. Из прямоугольного треугольника BCK: \(\cos B=BK/BC=2\sqrt6/(9\sqrt2)=2\sqrt3/9\). Тогда \(BM=AB\cos B=9\sqrt6\cdot2\sqrt3/9=6\sqrt2\).

Введём координаты: \(B=(0,0)\), ось x направим вдоль BC. Тогда \(C=(9\sqrt2,0)\), \(M=(6\sqrt2,0)\), а \(K=(BK\cos B,BK\sin B)=(4\sqrt2/3,2\sqrt{46}/3)\).

По формуле расстояния:

\(KM^2=(6\sqrt2-4\sqrt2/3)^2+(2\sqrt{46}/3)^2=392/9+184/9=64\), поэтому \(KM=8\) см.

Ответ: в) 8 см.