6. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 45°, высота конуса равна 3√2 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле \( S = \pi R l \), где \( R \) — радиус основания, \( l \) — образующая.

У нас есть высота \( h = 3\sqrt{2} \) см и угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей:

\( \tan \alpha = \frac{h}{R} \).

\( \tan 45^{\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{R} \).

Так как \( \tan 45^{\circ} = 1 \), то \( 1 = \frac{3\sqrt{2}}{R} \).

Следовательно, \( R = 3\sqrt{2} \) см.

Теперь найдём образующую \( l \) по теореме Пифагора:

\( l^2 = R^2 + h^2 \)

\( l^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 \)

\( l^2 = (9 \cdot 2) + (9 \cdot 2) = 18 + 18 = 36 \)

\( l = \sqrt{36} = 6 \) см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности конуса:

\( S = \pi R l = \pi \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 6 = 18\sqrt{2} \pi \) кв. см.

Ответ: 18\(\sqrt{2}\)\(\pi\) кв. см