6. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности и объём.

Решение:

Дано:

• Треугольная призма прямая.
• Основание — прямоугольный треугольник.
• Катеты основания: \( a = 6 \), \( b = 8 \).
• Высота призмы: \( h = 10 \).

Найти:

• Площадь поверхности призмы \( S_{пов} \).
• Объем призмы \( V \).

1. Находим площадь основания:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} · 6 · 8 = 24 \]

2. Находим гипотенузу основания:

По теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

3. Находим площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

\[ P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \]\[ S_{бок} = P_{осн} · h = 24 · 10 = 240 \]

4. Находим площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

\[ S_{пов} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 · 24 + 240 = 48 + 240 = 288 \]

5. Находим объем призмы:

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\[ V = S_{осн} · h = 24 · 10 = 240 \]

Ответ: Площадь поверхности призмы равна 288, объём призмы равен 240.