6. Отрезки AB и CD – диаметры некоторой окружности. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Решение:

Дано: \( AB \) и \( CD \) — диаметры окружности.

Доказать: \( AC \|\| BD \).

Доказательство:

1. Пусть \( O \) — центр окружности. Так как \( AB \) и \( CD \) — диаметры, то \( O \) является серединой каждого из них.
2. Рассмотрим \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \):
   • \( AO = OB \) (радиусы окружности).
   • \( CO = OD \) (радиусы окружности).
   • \( \angle AOC = \angle BOD \) (вертикальные углы).
3. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle AOC = \triangle BOD \).
4. Из равенства треугольников следует, что \( AC = BD \) и \( \angle CAO = \angle DBO \).
5. Углы \( \angle CAO \) и \( \angle DBO \) являются накрест лежащими при прямых \( AC \) и \( BD \) и секущей \( AB \).
6. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( AC \) и \( BD \) параллельны.

Ответ: Прямые \( AC \) и \( BD \) параллельны, так как равны накрест лежащие углы при секущей \( AB \).