7. В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27° меньше угла, противолежащего основанию. Найдите углы треугольника.

Решение:

Пусть в равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) (где \( AB=AC \)), угол при основании \( \angle B = \angle C \). Угол, противолежащий основанию — \( \angle A \).

По условию, угол при основании на 27° меньше угла, противолежащего основанию:

\[ \angle B = \angle A - 27^{\circ} \]

Так как \( \angle B = \angle C \), то \( \angle C = \angle A - 27^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

Подставим известные соотношения:

\[ \angle A + (\angle A - 27^{\circ}) + (\angle A - 27^{\circ}) = 180^{\circ} \]

\[ \angle A + \angle A - 27^{\circ} + \angle A - 27^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 3\angle A - 54^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 3\angle A = 180^{\circ} + 54^{\circ} \]

\[ 3\angle A = 234^{\circ} \]

\[ \angle A = \frac{234^{\circ}}{3} = 78^{\circ} \]

Теперь найдём углы при основании:

\[ \angle B = \angle C = \angle A - 27^{\circ} = 78^{\circ} - 27^{\circ} = 51^{\circ} \]

Проверка: \( 78^{\circ} + 51^{\circ} + 51^{\circ} = 78^{\circ} + 102^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: 78°, 51°, 51°.