5. На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны.

Решение:

Дано:

• \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, \( \angle A = 90^{\circ} \).
• \( AH \) — высота.
• \( O \) — точка на высоте \( AH \).

Доказать: \( \triangle AOB = \triangle AOC \).

Доказательство:

Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом \( A \), то \( AB = AC \) и \( \angle ABC = \angle ACB = 45^{\circ} \).

Высота \( AH \) в равнобедренном треугольнике также является медианой и биссектрисой.

Значит, \( BH = HC \) и \( \angle BAH = \angle CAH = 45^{\circ} / 2 = 22.5^{\circ} \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle AOC \).

• Сторона AO — общая для обоих треугольников.
• Сторона AB = AC (по условию, \( \triangle ABC \) — равнобедренный).
• Угол \( \angle OAB \) равен углу \( \angle OAC \) (так как \( AH \) — биссектриса \( \angle A \) и точка \( O \) лежит на \( AH \)). \( \angle OAB = \angle OAC = 22.5^{\circ} \).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( \triangle AOB = \triangle AOC \).

Что и требовалось доказать.