6. Отрезки АВ и ДС лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=13, DC=65, AC=42.

Решение:

Так как AB || DC, то треугольники ABM и CDM подобны (по двум углам: \( \angle BAM = \angle MCD \) и \( \angle ABM = \angle MDC \) как накрест лежащие при параллельных прямых и секущих AC и BD; \( \angle AMB = \angle CMD \) как вертикальные).

Отношение подобия треугольников равно отношению их соответствующих сторон:

\[ \frac{AB}{DC} = \frac{AM}{MC} = \frac{BM}{MD} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{13}{65} = \frac{AM}{MC} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{1}{5} = \frac{AM}{MC} \]

Это значит, что MC в 5 раз больше, чем AM.

Мы знаем, что AC = AM + MC = 42 см.

Пусть AM = x, тогда MC = 5x.

\[ x + 5x = 42 \]

\[ 6x = 42 \]

\[ x = \frac{42}{6} = 7 \] см.

Тогда MC = 5x = \( 5 \cdot 7 = 35 \) см.

Ответ: 35