3. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК, которая делит сторону ВС на отрезки равные 6 см и 5 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

Дано, что ABCD — параллелограмм.

АК — биссектриса.

Биссектриса делит сторону ВС на отрезки BK = 6 см и KC = 5 см.

Значит, сторона BC = BK + KC = 6 см + 5 см = 11 см.

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны: AD = BC = 11 см.

Так как АК — биссектриса, то \( \angle BAK = \angle KAD \).

В параллелограмме AB || DC и AD || BC.

Рассмотрим секущую АК. \( \angle BAK = \angle AKB \) как накрест лежащие углы при параллельных AB и DC и секущей АК.

Следовательно, \( \angle AKB = \angle KAD \).

Теперь рассмотрим параллельные AD и BC и секущую АК. \( \angle DAK = \angle AKB \) как накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей АК.

Из равенства \( \angle BAK = \angle KAD \) и \( \angle KAD = \angle AKB \) следует, что \( \angle BAK = \angle AKB \).

Треугольник ABK является равнобедренным с основанием АК. Следовательно, AB = BK.

По условию, BK = 6 см. Значит, AB = 6 см.

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны: CD = AB = 6 см.

Периметр параллелограмма ABCD равен сумме длин всех его сторон: P = AB + BC + CD + AD.

P = 6 см + 11 см + 6 см + 11 см = 34 см.

Ответ: 34 см.