6. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона равна 5. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Дано:
Треугольник ABC, AB = AC = 5 (боковые стороны), BC = ?, P = 16.
Найти: S_ABC

1. Найдём основание треугольника.
   Периметр равнобедренного треугольника P = 2 * (боковая сторона) + (основание).
   \( 16 = 2 \cdot 5 + BC \)
   \( 16 = 10 + BC \)
   \( BC = 16 - 10 = 6 \).
2. Найдём высоту треугольника.
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник (высота, половина основания, боковая сторона).
   Пусть BH — высота. Тогда AH = HC = BC / 2 = 6 / 2 = 3.
   По теореме Пифагора в треугольнике ABH: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)
   \( 5^2 = 3^2 + BH^2 \)
   \( 25 = 9 + BH^2 \)
   \( BH^2 = 25 - 9 = 16 \)
   \( BH = \sqrt{16} = 4 \).
3. Найдём площадь треугольника.
   Площадь треугольника S = (1/2) * (основание) * (высота).
   \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BH \)
   \( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12 \).

Ответ: 12